第一章:随机事件与概率知识点总结
随机试验\(E\)的所有可能结果组成的集合称为\(E\)的样本空间,记为\(S\).样本空间的元素,样本空间的元素,即试验\(E\)的每一个结果,称为样本点
随机试验\(E\)的样本空间\(S\)的子集称为\(E\)的 随机事件,简称 事件
和事件积事件运算性质
\[ A\bigcup A=A,A\bigcup S=S,A\bigcup \emptyset=A\\ A\bigcap A=A,A\bigcap S=A,A\bigcap \emptyset=\emptyset \]
事件间的运算规律
- 交换律 \(A\bigcup B=B\bigcup A;A\bigcap B=B\bigcap A\)
- 结合律 \(A\bigcup(B\bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcup C;A\bigcap(B\bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcap C\)
- 分配律 \(A\bigcup(B\bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcup(A\bigcap C);A\bigcap(B\bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcap(A\bigcup C)\)
- 德\(\cdot\)摩根律 \(\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B};\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup\bar{B}\)
概率论与集合论之间的对应关系
| 记号 | 概率论 | 集合论 |
|---|---|---|
| \(S\) | 样本空间,必然事件 | 全间 |
| $$ | 不可能事件 | 空集 |
| \(e\) | 可能的结果 | 元素 |
| \(A\) | 随机事件 | 子集 |
| ${A} $ | \(A\)的对立事件 | \(A\)的补集 |
| $AB $ | \(A\)出现必然导致 \(B\)出现 | \(A\)是 \(B\)的补集 |
| \(A=B\) | 事件 \(A\)与事件 \(B\)相等 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)相等 |
| $AB $ | 事件 \(A\)与事件B的和事件 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)的并集 |
| \(AB\) | 事件 \(A\)与事件 \(B\)的积事件 | 集合 \(A\)与结婚 \(B\)的交集 |
| $A-B $ | 事件 \(A\)与事件 \(B\)的差事件 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)的差集 |
| $AB=$ | 事件 \(A\)与 \(B\)互不相容 | \(A\)与 \(B\)两集合中没有相同的元素 |
概率的性质
- 性质1
- \(P(\emptyset)=0\)
- 性质2
- 有限可加性,在无交的时候才可以用
- \(P(A)=P(A-B)+P(AB)\)前提条件是\(P(A-B)\bigcap P(AB)=\emptyset\)
- 性质3
- 减法公式
- 设 \(A,B\)是两个事件,若 \(A\subset B\),则有
- \(P(B-A)=P(B)-P(A)\)
- \(P(B)\ge P(A)\)
- \(B-A=B-AB=B\bar{A}\) 无论何时都会成立
- 设 \(A,B\)是两个事件,若 \(A\subset B\),则有
- 减法公式
- 性质4
- 对于任一事件 \(A\),\(P(A)\le1\)
- 性质5
- 逆事件的概率
- 对于任一事件 \(A\),有 \(P(\bar{A})=1-P(A)\)
- 逆事件的概率
- 性质6
- 加法公式
- 对于任意两事件 \(A\),\(B\).有 \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
- 为什么要减去?因为\(P(AB)\)是多加的部分,它多加了一遍,所以要减去
- 推广-多个事件的和事件
- 先是单个事件概率相加,减去两两事件发生概率,加上三个事件和事件发生概率,减去四个事件和事件发生概率直到n个事件
- 加法公式
典型习题
古典概型计算公式
\[ P(A)=\frac{k}{n}=\frac{A的基本事件数}{S的基本事件的总数}=\frac{N(A)}{N(S)} \]
几何概型
当随机试验的样本空间是某个区域 \(S\),并且任意一点落在测度(长度、面积、体积)相同的子区域 \(A\)是等可能的,而与 \(A\)的位置和形状无关.
则事件 \(A\)的概率可定义为: \[ P(A)=\frac{mA}{mS} \] 其中 \(mS\)是样本空间的测度,\(mA\)是构成事件 \(A\)的子区域的测度.这养借助于集合上的测度来合理规定概率称为几何概型
小复习
排列组合数
组合数：
\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)}=\frac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}\)
组合数 \(C_n^m\)也记为 \(\tbinom{n}{m}\)
排列数：
\(A_n^m=C_n^m\cdot m!=n(n-1)\cdots (n-m+1)\)
排列数 \(A_n^m\)也记为 \(P_n^m\)
matlab求阶乘以及排列组合数的命令
- \(n!\)：
factional(n)或prod(1:n) - \(C_n^k\)：
nchoosek(n,k) - \(A_n^k\)：
factional(n)/factional(n-k)
条件概率公式
定义-已知原因找结果
设 \(A\),\(B\)是两个事件,且 \(P(A)>0\),称\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)为在事件 \(A\)发生的条件下事件 \(B\)发生的条件概率
同理可得
\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)为事件 \(B\)发生的条件下 \(A\)发生的概率
乘法定理
设 \(A\),\(B\)是两个事件,且 \(P(A)>0\),则 \[ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \longrightarrow P(AB)=P(A|B)P(A) \] 由此的到下面乘法定理:
设 \(P(A)>0\),则有\(P(AB)=P(B|A)P(A)\)乘法公式
推广
设 \(A,B,C\)为事件,且 \(P(AB)>0\),则有\(P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)\)
全概率公式
设试验 \(E\)的样本空间为 \(S\),\(A\)为 \(E\)的事件, \(B_1,B_2,\cdots ,B_n\)为 \(S\)的一个划分,且 \(P(B_i)>0(i=1,2,\cdots n)\)则 \[ P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+\cdots+P(AB_n) //概率的有限可加性\\ =P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n)//乘法定理\\ =\sum\limits_{i=1}^nP(A|Bn)P(B_n)//简洁表示法 \] 上式称为 全概率公式
化整为零——各个击破——合而为一
贝叶斯公式
定义-已知结果找原因
设试验 \(E\)的样本空间为 \(S\). \(A\)为 \(E\)的时间.\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)为 \(S\)的一个划分,且 \(P(A)>0,P(B_1)>0\ (i=1,2,\cdots,n)\),则 \[ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j-1}^nP(A|B_j)P(B_j)} \] 上式称为 贝叶斯公式
关系
\[ {\color{red}条件概率}{\color{blue}P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}}\longrightarrow {\color{red}乘法定理}{\color{blue}P(AB)=P(B|A)P(A)} \\ \downarrow \\ {\color{red}全概率公式} \\ {\color{blue}P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n)} \\ \downarrow\\ {\color{red}贝叶斯公式} \\ {\color{blue}P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j-1}^nP(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,\cdots,n} \]
事件相互独立的概念
设 \(A,B,C\)是三个事件,如果满足不等式 \[ \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{cases} \] \(A,B,C\)两两相互独立
则称事件 \(A,B,C\)相互独立 \[ \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\ \ \ 两事件互斥 \\ AB=\emptyset\ \ \ 两事件相互独立 \end{cases} \}{\color{red}两者之间没有必然联系} \] 往往通过实际加以判断
定理
- 定理一
- 设 \(A,B\)是两事件,且 \(P(A)>0\),若 \(A,B\)相互独立,则 \(P(B|A)=P(B)\).反之亦然
- 定理二
- 必然事件 \(S\)与任意随机事件 \(A\)相互独立;不可能事件与任意随机事件 \(A\)相互独立
- 定理三-经常用到
- 若事件 \(A\)与 \(B\)相互独立,则下列各事件也相互独立
- \(A与\bar{B},\bar{A}与B,\bar{A}与\bar{B}\)
- 推论
- \(n(n\ge2)\)个事件相互独立,则其中任意 \(k(2\ge k\ge n)\)个事件也是相互独立的
- \(n(n\ge2)\)个事件相互独立,将其中任意多个事件换成与之对立的事件所得的\(n\)个事件仍相互独立
- 若事件 \(A\)与 \(B\)相互独立,则下列各事件也相互独立
伯努利概型
一般把只有两种可能结果 \(A\)和 \(\bar{A}\)的试验,称之为伯努利试验或称伯努利概型
把试验 \(E\)重复 \(n\)次,且 \(n\)次试验互不影响,则称为 \(n\)重伯努利试验
定理
- 定理1
- 每次试验中,事件 \(A\)发生的概率为 \(p(0<p<1)\),则在 \(n\)重伯努利试验中,事件 \(A\)发生 \(k\)次的概率为 \(P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=1,2,\cdots ,n\)
随机变量
把随机变量理解为一个函数,对应法则 \[ r.v.(random\ variable) \begin{cases} 离散型\\ 连续型\\ 混合型 \end{cases} \]
离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 \(X\)所有可能取的值为 \(x_k(k=1,2,\cdots)\), \(X\)取各个可能值的概率,即事件 \({X=x_k}\)的概率为 \[ P(X=x_k)=p_k\ k=1,2,\cdots \] ,称此为离散型随机变量的分布律
说明:由概率的定义,\(p_k\)满足如下两个条件:
- \(p_k\ge0,k=1,2,\cdots\) 非负性
- \(\sum\limits_{k=1}^\infty=1\) 规范性
表格法
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p_k\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | \(\cdots\) |
常见的离散型变量的概率分布
\((0-1)\)分布
公式法
- \(P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1\ (0<p<1)\)
表格法
\(X\) 0 1 \(p_k\) \(1-p\) \(p\)
伯努利试验、二项分布
- 伯努利试验
- 和上面的伯努利试验描述一致
- 二项分布
- \(P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)
- 这样的分布为二项分布,记为 \(X\sim b(n,p)\)
- 二项分布 \(\stackrel{n=1}\longrightarrow\)两点分布(b(1,p)也叫01分布)
- 伯努利试验
泊松分布
- 设随机变量 \(X\)所有可能的值为 \(0,1,2,\cdots\),而取各个值的概率为
- \(P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=1,2,\cdots\),其中 \(\lambda>0\)是常数.则称 \(X\)服从参数为 \(\lambda\)的泊松分布
- 记为 \(X\sim \pi(\lambda)\)
- 二项分布 \(\stackrel{np\rightarrow \lambda(n\rightarrow+\infty)}\longrightarrow\) 泊松分布
- 泊松定理
- 设 \(\lambda>0\)是一个常数, \(n\)是任意正整数,设\(np_n=\lambda\),则对于任一固定的非负整数 \(k\)有 \(\mathop{lim}\limits_{0\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)
- 一般,当 \(n\ge20\),且 \(p\le0.05\)时,使用泊松定理计算近似值颇佳
超几何分布
若随机变量 \(X\)的分布律为
\[ P\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,\cdots,min{n,M} \]
其中 \(n,M\)为非负整数且满足: \(0\le n\le N,0\le M\le N\),则称 \(X\)满足超几何分布
用于表示从已知的概率中求事件达成的概率
与二次分布的关系
若 \(\mathop{lim}\limits_{N\rightarrow \infty}\frac{M}{N}=p\)即在无限多个产品中,废品率为 \(p\),则有
\[ \mathop{lim}\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \]
几何分布
进行重复的、独立的伯努利试验,设每次试验的成功的概率为 \(p\),讲实验已知进行到出现一次成功为止
若随机变量 \(X\)表示所需要的试验次数,则其分布律为
\[ P\{X=k\}=q^{k-1}p,k=1,2,\cdots,其中q=1-p \]
则称 \(X\)服从参数为 \(p\)的几何分布,记为 \(X\sim G(p)\)
帕斯卡分布
与几何分布类似,但是要达成出现r次成功才能停止(r为常数)
随机变量 \(X\)表示所需要的试验次数,则其分布律为
\[ P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1}\cdot p^{r-1}\cdot q^{k-r}\cdot p,k=r,r+1,\cdots,其中q=1-p \]
则称 \(X\)服从帕斯卡分布
matlab代码示例
二项分布
1 | n=20; |
泊松分布
1 | x=0:15; |
\(np\rightarrow\lambda\)泊松近似二项分布
1 | y1=poisspdf(x,2); |
分布函数
定义
设 \(X\)是一个随机变量, \(x\)是任意实数函数 \[ F(x)=P\{X\le x\},-\infty<x<infty \] 称为 \(X\)的分布函数
说明
- 分布函数组要研究随机变量在区间内取值的概率情况
- 分布函数 \(F(x)\)是 \(x\)的一个普通实函数
- 离散型随机变量图像为阶梯状
- 连续型随机变量图像是连续的
性质
\(F(x)\)是一个单调不减函数
对任意实数 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\),有
\[ F(x_2)-F(x_1)=P\{x_1<X\le x_2\}\ge 0 \]
\(0\le F(x)\le1\)且
- \[ F(-\infty)=\mathop{lim}_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0\\ F(\infty)=\mathop{lim}_{x\rightarrow \infty}F(x)=1 \]
\(F(x+0)=F(x)\),即 \(F(x)\)是右连续的
重要公式
- \(P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)\)
- \(P\{X>a\}=1-F(a)\)
设离散随机变量 \(X\)的分布律为 \[ P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots \] 由概率的可列可加性得 \(X\)的分布函数为 \[ F(x)=P\{X\le x\}=\sum_{x_k\le x}P\{X=x_k\},\\即\\F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k \] 这里的和式是对所有满足 \(x_k\le x\)的 \(k\)的求和的.分布函数 \(F(x)\)在 \(x=x_k(k=1,2,\cdots)\)处有跳跃,其跳跃值为 \(p_k=P\{X=x_k\}\)
连续型随机变量及其概率密度
概率密度函数的定义
如果对于随机变量 \(X\)的分布函数 \(F(x)\),存在非负可积函数 \(f(x)\),使对于任意实数 \(x\)有 \[ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt \] 则称 \(X\)为连续型随机变量,其中函数 \(f(x)\)称为 \(X\)的概率密度函数,简称概率密度
连续型随机变量的分布函数是连续函数,概率密度未必是连续的
性质
- \(f(x)\ge 0\) 非负性
- \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\) 规范性
- 对于任意实数 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\),\(P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\) 转化成积分进行解题
- 若 \(f(x)\)在点 \(x\)处连续,则有 \(F'(x)=f(x)\)
\(P\{X\le a\}=F(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx\)
\(P\{X>a\}=1-P{X\le a}=1-F(a)=\int_a^{\infty}f(x)dx\)
注意
对于任意指定值 \(a\),连续型随机变量取 \(a\)的概率等于0,即 \(P\{X=a\}=\mathop{lim}\limits_{\Delta x\rightarrow0}\int_a^{a+\Delta x}f(x)dx=0\)由此得出:
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
- 连续型随机变量
- 若 \(P\{X=a\}=0\)则不能决定\({X=a}\)是不可能事件
- 离散型随机变量
- \(\{X=a\}\)是不可能事件 \(\Longleftrightarrow\) \(P(X=a)=0\)
常见连续型随机变量及其概率分布
均匀分布
\[ f(x)=\cases{\frac{1}{b-a},a<x<b\\ 0,其他} \]
则称 \(X\)在 \((a,b)\)上服从均匀分布.记为 \(X\sim U(a,b)\)
落入区间任意等长度的子区间的可能型相同
指数分布/寿命分布
\[ f(x)=\cases{\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},x>0\\ 0,其他} \]
其中 \(\theta>0\)为常数,则称 \(X\)服从参数为 \(\theta\)的指数分布,记为 \(X\sim E(\theta)\)
另一种记法,令 \(\frac{1}{\theta}=\lambda\)
\[ f(x)=\cases{\lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le0} \]
记为 \(X\sim E(\lambda)\)
分布函数
\[ F(x)=\cases{1-e^{-x/\theta},x>0\\ 0,其他} \]
使用积分计算分段函数可得到分布函数
无记忆性
- 对于任意 \(s,t>0\),有
- \(P\{X>s+t|X>s\}=P\{X|t\}\)
正态分布/正常分布
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<\infty \]
其中 \(\mu(任意),\sigma(\sigma>0)\)为常数,则称 \(X\)服从参数为 \(\mu,\sigma\)的正态分布或高斯分布.记为 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
性质
- 曲线关于 \(x=\mu\)对称,这表明对于任意 \(h>0\),有 \(P\{\mu-h<X\le\mu\}=P\{\mu<X\le \mu+h\}\)
- 当 \(x=\mu\)时渠道最大值 \(f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)
- 在 \(x=\mu\pm\sigma\)处曲线有拐点(凹凸性发生改变)
- 曲线以 \(x\)轴为渐近线
- 如果固定 \(\sigma\),改变 \(\mu\)的大小,则图形沿着 \(Ox\)轴平移,而不改变其形状.正态分布概率分布密度曲线完全由参数 \(\mu\)确定. \(\mu\)称为位置参数
- 如果固定 \(\mu\),改变 \(\sigma\)的大小,\(f(x)\)图形的对称轴不变,而形状在改变, \(\sigma\)越小,图形越高瘦,\(\sigma\)越大,图形越矮胖.\(\sigma\)称为形状参数
\(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\)
\(\Phi(0)=0.5\)
特征:倒钟型
标准柯西分布
\[ f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)},-\infty<x<\infty \]
则称 \(X\)服从标准柯西分布
标准柯西分布的分布函数为:
- \[ F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arc\tan x \]
标准正态分布的上 \(\alpha\)分位点
\(0<\alpha<1\)
没看懂
离散型随机变量的函数的分布
用图表来计算.
连续型随机变量的函数的分布
定理
设随机变量 \(X\)具有概率密度 \(f_X(x)\),\(-\infty<x<\infty\),设函数 \(g(x)\)处处可到切恒友 \(g'(x)>0\)(或恒有 \(g'(x)<0\)),则 \(Y=g(X)\)是连续型随机变量,其概率密度为 \[ f_Y(y)=\cases{f_X[h(y)]|h'(y)|,\alpha<y<\beta\\ 0,其他} \] 其中 \(\alpha=min\{g(-\infty),g(\infty),\}\beta =max\{g(-\infty),g(\infty)\}\),\(h(y)\)是 \(g(x)\)的反函数
说明
若 \(f(x)\)在有线区间 \([a,b]\)以外等于零,则只需假设在 \([a,b]\)上恒有 \(g'(x)>0(或恒有g'(x)<0)\),此时,\(\alpha=min\{g(a),g(b)\},\beta=max\{g(a),g(b)\}\)
第三章:多维随机变量及其分布
多维随机变量
性质
\(F(x,y)\)是变量 \(x\)和 \(y\)的不减函数,即对于任意固定的 \(y\),当 \(x_2>x_1\)时 \(F(x_2,y)\ge F(x_1,y)\);对于任意固定的 \(x\),当 \(y_2>y_1\)时 \(F(x,y_2)\ge F(x,y_1)\)
\(0\le F(x,y)\le 1\),且对于任意固定的y,\(F(-\infty,y)=0\),对于任意固定的 \(x\),\(F(x,-\infty)=0\),\(F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1\)
\(F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)\),即 \(F(x,y)\)关于 \(x\)右连续,关于 \(y\)也右连续
对于任意 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2\),下述不等式成立:
\[ F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2) \ \ \ 加同减异 \]
二维随机变量落入这个面积的概率
二维离散随机变量的分布律
性质
- 非负性 \(p_{ij}\ge 0\)
- 规范性 \(\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ij}=1\)
公式法
- 称 \(P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij};i,j=1,2,\cdots\)为离散型随机变量 \((X,Y)\)的分布律,或随机变量 \(X\)和 \(Y\)的联合分布律
表格法
\(Y\setminus X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_i\) \(y_1\) \(p_{11}\) \(p_{21}\) \(\cdots\) \(p_{i1}\) \(y_2\) \(p_{12}\) \(p_{22}\) \(\cdots\) \(p_{i2}\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(y_j\) \(p_{1j}\) \(p_{2j}\) \(\cdots\) \(p_{ij}\)
二维连续型随机变量
性质
- \(f(x,y)\ge 0\) 非负性
- \(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=F(\infty,\infty)=1\) 规范性
- 设 \(G\)是 \(xoy\)平面上的区域,点\((X,Y)\)落在 \(G\)内的概率为 \(P\{(X,Y)\in G\}=\mathop{\int\int}\limits_Gf(x,y)dxdy\)
- 若 \(f(X,Y)\)在 \((x,y)\)连续,则有 \(\frac{\partial^2 F(X,Y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)\)
边缘分布
\(F_X(x)=P\{X\le x\}=F(x,+\infty)=P\{X\le x,Y<+\infty\}\)
\(F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\infty,y)=P\{x<+\infty ,Y\le y\}\)
二维离散型的联合分布和边缘分布
\(F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}=\sum\limits_{x_i\in X}\sum\limits_{y_j\in Y}P_{ij}\)
二维连续型
定义
- $f(x,y) $非负性
- \(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\) 规范性
- \(\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)\)
- \(P\{(x,y)\in G\}=\mathop{\int\int}\limits_Gf(x,y)dxdy\) \(G\)是 \(X,Y\)平面上的一个区域
条件分布
离散型
二维离散型随机变量的分布律为 \[ P\{X=x_i,Y=y_i\}=P_{ij},i,j=1,2\cdots \] 由条件概率公式 \[ P\{X=x_i,Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}}=\frac{P_{ij}}{P_j},i=1,2,\cdots \]
性质
- \(P\{X=x_i|Y=y_i\}\ge 0\) 非负性
- \(\sum\limits_{i=1}^\infty P\{X=x_i|Y=y_i\}=1\) 规范性
连续型
二维连续型随机变量 \((X,Y)\)的联合概率密度 \(f(x,y)\)
边缘概率密度 \(f_X(x),f_Y(y)\)
若 \(f_Y(y)>0\)在 \(Y=y\)的情况下
\(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du\)
\(f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\ \ \ \ f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)
\(F(y|x)=\int_{-\infty}^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv\)
\(P\{X\le x|Y\le y\}=\frac{P\{X\le x,Y=y\}}{P\{Y=y\}}=\mathop{lim}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\int_{-\infty}^x\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f(u,v)dudv}{\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_v(v)dv}=\frac{\int_{-infty}^xf(u,v)du}{f_Y(y)}=\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du\)
随机变量的独立性
离散型
\(P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_i\}\)
连续型
\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)
多维随机变量函数的分布
卷积公式
对于连续型随机变量 \((X,Y)\),设其概率密度函数为 \(f(x,y)\),则 \(Z=X+Y\)的分布函数为 \[ F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{X+Y\le z\}=\mathop{\int\int}_{x+y\le z}f(x,y)dxdy \] \(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_x(z-y)\cdot f_Y(y)dy\)
\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\cdot f_Z(z-x)dx\)
