所有能用数字表示的向量都依赖于其基(basic)
向量的表示
- 一个向量最好使用箭头表示法
- 多个向量使用点表示,因为向量的起点永远都是原点,这样更方便观察
线性相关
- 有多个向量,且移除一个不影响张成空间,就称被移除的向量与原向量线性相关
- 一个向量,可以被其他向量的线性组合表示,则说明他们线性相关
线性无关
- 不能被其他向量,或其他向量的线性组合表示,说明他们线性无关
- 如果所有向量都给张成空间增加了新的维度,他们被称为线性无关
向量的基本运算
向量加法: \[ \left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a+c \\ b+d \end{matrix} \right] \]
向量乘法: \[ x\left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} ax \\ bx \end{matrix} \right] \]
线性组合
- 两个数乘'向量的和,被称为两个向量的
- \(\overrightarrow{aw}+\overrightarrow{bv}\) 被称作w与v的线性组合,它们构成了一个新向量 \[ a\hat{w}+b\hat{v}=一个新向量 \]
- 向量的缩放再相加
- 一组基的线性组合可以在他们的张成空间构成任意向量,张成空间为线或点除外
矩阵
- 矩阵就是空间的变换
- 两个矩阵相乘代表依次进行变换
- 变换顺序,从右到左
张成空间
- 向量任意组合所构成的空间:所有终点落在这个平面上向量的集合,是这两个向量张成的空间
向量的变换
- 用原坐标乘变换后\(\hat{i}\hat{j}\)的坐标,原向量与矩阵相乘再相加,\(a\hat{i}+b\hat{j}\),就是把矩阵代表的线性变换作用于向量
计算方法: \(\left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right]\)是变换后\(\hat{i}\hat{j}\)的坐标 \[ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=x \left[ \begin{matrix} a \\ c \end{matrix} \right]+y \left[ \begin{matrix} b \\ d \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} ax+by \\ cx+dy \end{matrix} \right] \]
行列式
- 代表面积/体积大小的改变倍数,相比于原基
- 用于计算面积变化的比例
- 行列式用于描述变换
- 行列式为零,代表压缩到一条线/一个点上/更小维度
- 行列式为负,称作改变了空间的定向/感觉空间翻转了
- 如果i帽在j帽左面或者说j帽在i帽右边,说明空间定向被改变
- 二阶行列式的计算: \[ det(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right])=ad-bc \]
- 计算 如果bc不为零,那么bc代表的是在对角线方向上拉抻或者压缩了多少
- 右手定则,中指j帽,食指i帽,如果立起拇指正好指向k帽,说明行列式为正如果不能能,行列式结果为负
- 三阶行列式的计算
\[ det(\left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right])=det(\left[ \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} \right])a-det(\left[ \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} \right])b+det(\left[ \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} \right])c=a(ie-hf)-b(di-fg)+c(dh-eg) \]
特殊性质
\[ det(M1M2)=det(M1)det(M2) \]
用一句话解释就是变化的最终结果与顺序无关
线性方程组
未知量与系数都在左面,常量都在右边 \[ \begin{cases} 2x+5y+3z=-3 \\ 4x+0y+8z=0 \\ 1x+3y+0z=2 \end{cases} \rightarrow \overbrace{ \left[ \begin{matrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 0 & 8 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right] }^{\text{A}} \overbrace{ \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right] }^{\overrightarrow{x}} =\overbrace{ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{\overrightarrow{v}} A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v} \]
秩代表变换后的空间的维度
- 满秩 说明空间在变换后没有被压缩到更低的维度
列空间
- 列空间就是矩阵的列所张成的空间
点积
- 一个向量的投影与另一个向量的乘积
- 为什么是投影呢,因为一个向量可以转化为变换矩阵,再用变换乘法即可得到点积结果 #### 点积的对偶性
- 点积与顺序无关.
- 两个相同长度的向量,相互做点乘,他们相互的投影长度总是相等的,其中一个长度发生缩放,缩影也随之缩放相同比率,点乘结果一致.
- 2D到数轴的线性变化
- \(\hat{u}\)的横纵坐标是\(\hat{u}\)在\(\hat{i}\hat{j}\)上的正交投影,也就是说,\(\hat{u}\)记录的是\(\hat{i}\hat{j}\)线性变换后的位置,所以,它是一个矩阵\(\left[\begin{matrix}u_x\ u_y\end{matrix} \right]\).
- 在原坐标系上建立一个向量,求他在\(\hat{u}\)变换的位置,等同于新向量与\(\hat{u}\)做点乘.
- 单位向量的点乘可以理解为将向量投影到单位向量\(\hat{u}\)所在的直线上所得到的投影长度.
\(u_x\)代表u在x上的投影,\(u_y\)代表u在y上的投影
\[ \left[ \begin{matrix} u_x\ u_y \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=u_x\cdot x+u_y\cdot y \]
\[ \left[ \begin{matrix} u_x \\ u_y \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=u_x\cdot x+u_y\cdot y \]
- 非单位向量的情况就是,非单位单位向量扩大的倍数乘以投影长度.
