HexBlog

0%

概率论与数理统计第二节课-随机事件的概率

发表于 更新于 分类于

1.2 随机事件的概率

频率的定义与性质

频率的定义

在相同的条件下,进行了 \(n\)次试验,在这 \(n\)次试验中,事件 \(A\)发生的次数 \(n_A\)称为事件 \(A\)发生的频数.比值 \(\frac{n_A}{n}\)称为事件 \(A\)发生的频率,记作 \(f_n(A)\)

频率的性质

频率具有 随机波动性,对于同样的 \(n\),所得的 \(f\)不一定相同

对于一种只有两种结果的实验来说,实验次数 \(n\) 较少时,频率 \(f_n(H)\)在0与1之间随机波动,其幅度较大,但随着 \(n\)增大,频率 \(f_n(H)\)呈现出稳定性,当实验次数逐渐增大时 \(f_n(H)\)总是在0.5附近摆动,而逐渐稳定于0.5

大量实验证明,当重复试验的次数 \(n\)逐渐增大时,频率 \(f_n(A)\)呈现出稳定性,逐渐稳定于某一个常数,这种 频率稳定性即通常所说的 统计规律性 ### 概率的统计学定义

在大量重复实验中,若事件 \(A\)发生的频率稳定的在某一个常数 \(p\)附近浮动,则称该常数 \(p\)为事件 \(A\)发生的概率,记为 \(P(A)\),即 \(P(A)=p\)

  1. 频率是变动的,概率是一个常数
  2. 概率可以理解为实验次数无限增大时,频率的极限,所以,当实验次数无限增大时,有 \(f_n(A)\approx p\)

概率的定义与性质

概率的公理化定义

设 \(E\)是随机试验,\(S\)是他的样本空间.对于 \(E\)的每一事件 \(A\)赋予一个实数,记为 \(P(A)\),称为事件 \(A\)的概率.如果集合函数 \(P(\cdot)\)满足条件:

  1. 非负性:对于每一个事件,有 \(P(A)\ge 0\)
  2. 规范性:对于必然事件 \(S\),有 \(P(S)=1\)
  3. 可列可加性:设 \(A_1,A_2,\cdots\)是两两不相容的事件,即对于 \(A_iA_j=\emptyset,i\neq j,i,j=1,2,\cdots\),有 \(P(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots) =P(A_1)+P(A_2)+\cdots\)

概率的性质

  • 性质1
    • \(P(\emptyset)=0\)
  • 性质2
    • 有限可加性
  • 性质3
    • 设 \(A,B\)是两个事件,若 \(A\subset B\),则有
      • \(P(B-A)=P(B)-P(A)\)
      • \(P(B)\ge P(A)\)
      • \(B-A=B-AB=B\bar{A}\)
  • 性质4
    • 对于任一事件 \(A\),\(P(A)\le1\)
  • 性质5
    • 逆事件的概率
      • 对于任一事件 \(A\),有 \(P(\bar{A})=1-P(A)\)
  • 性质6
    • 加法公式
      • 对于任意两事件 \(A\),\(B\).有 \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

古典概型

定义

设 \(E\)是随机试验,若 \(E\)满足下列条件

  1. 实验的样本空间只包含有限个元素
  2. 实验中每个基本事件的可能型相同,

则称 \(E\)为等可能概型

等可能改性的试验大量存在,它在概率论发展初期是主要研究对象.等可能概型的一些概念具有直观、容易理解的特点,应用非常广泛

古典概型的计算公式

定理

设试验的样本空间 \(S\)包含 \(n\)个样本点,事件 \(A\)有 \(k\)个基本事件,则有: \[ P(A)=\frac{k}{n}=\frac{A的基本事件数}{S的基本事件的总数}=\frac{N(A)}{N(S)} \] 该式称为等可能概型中事件概率的计算公式

当样本空间的元素较多时,一般不再将元素一一列出,秩序分别求出 \(S\)和 \(A\)中元素的个数,在用计算公式即可求得相应的概率

人们在长期事件中得到 概率很小的事在一次试验中实际上几乎是不可能发生的,1现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,有理由怀疑假设的正确性,从而

几何概型

定义

当随机实验的样本空间是某个区域 \(S\),并且任意一点落在测度(长度、面积、体积)相同的子区域 \(A\)是等可能的,而与 \(A\)的位置和形状无关.

则事件 \(A\)的概率可定义为: \[ P(A)=\frac{mA}{mS} \] 其中 \(mS\)是样本空间的测度,\(mA\)是构成事件 \(A\)的子区域的测度.这养借助于集合上的测度来合理规定概率称为几何概型

说明

当浮点概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型

小结

  1. 频率
    1. \(0\le f_n(A)\le 1\)
    2. \(f_n(S)=1\)
    3. 若 \(A_1,A_2,\cdots A_k\)是两两不相容的事件,则 \(f_n(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \bigcup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\cdots +f_n(A_k)\)

排列组合数

组合数：

\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)}=\frac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}\)

组合数 \(C_n^m\)也记为 \(\tbinom{n}{m}\)

排列数：

\(A_n^m=C_n^m\cdot m!=n(n-1)\cdots (n-m+1)\)

排列数 \(A_n^m\)也记为 \(P_n^m\)

matlab求阶乘以及排列组合数的命令

  1. \(n!\)：factional(n)或prod(1:n)
  2. \(C_n^k\)：nchoosek(n,k)
  3. \(A_n^k\)：factional(n)/factional(n-k)

  1. 实际推断原理/小概率事件原理↩︎

恰饭,恰饭