条件概率和全概率公式
条件概率
定义
设 \(A\),\(B\)是两个事件,且 \(P(A)>0\),称 \[ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \] 为在事件 \(A\)发生的条件下事件 \(B\)发生的条件概率
同理可得 \[ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \] 为事件 \(B\)发生的条件下 \(A\)发生的概率 ### 性质
- 非负性：对于每一事件 \(B\),有 \(P(B|A)\geq 0\)
- 规范性：对于必然事件 \(S\),有 \(P(S|A)=1\)
- 可列可加性：设 \(B_1,B_2,\cdots\)是两两不相容事件,则有
\[ \begin{equation*} P(\mathop{\bigcup}\limits_{i-1}^\infty B_i|A)=\sum\limits_{i-1} ^\infty P(B_i|A) \end{equation*} \]
即条件概率满足概率的三个性质,所以条件概率也是概率
乘法定理
设 \(A\),\(B\)是两个事件,且 \(P(A)>0\),则 \[ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \longrightarrow P(AB)=P(A|B)P(A) \] 由此的到下面乘法定理:
设 \(P(A)>0\),则有\(P(AB)=P(B|A)P(A)\)
推广
设 \(A,B,C\)为事件,且 \(P(AB)>0\),则有 \[ P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) \] 一般设 \(A_1,A_2,\cdots ,A_n\)为 \(n\)个事件, \(n\geq2\),且 \(P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0\),则有 \[ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2\cdots A_{n-2})\cdots P(A_2|A_1)P(A_1) \]
全概率公式
样本空间的划分(或完备事件组)
定义
设 \(S\)为试验 \(E\)的样本空间,\(B_1,B_2,\cdots B_n\)为 \(E\)的一组事件,若
- \(B_iB_j=\emptyset ,i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n\) //任何两个事件没有交集
- \(B_1\bigcup B_2 \bigcup \cdots B_n=S\) //所有事件的并集构成一个样本空间
则称 \(B_1,B_2,\cdots B_n\)为样本空间 \(S\)的一个划分或一个完备事件组
全概率公式
定理
设试验 \(E\)的样本空间为 \(S\),\(A\)为 \(E\)的时间 \(B_1,B_2,\cdots ,B_n\)为 \(S\)的一个划分,且 \(P(B_i)>0(i=1,2,\cdots n)\)则 \[ P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n) \] 上式称为 全概率公式
说明
全概率公式的主要用处在于他可以讲一个复杂时间的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终的结果
化整为零——各个击破——合而为一
贝叶斯公式
定理
设试验 \(E\)的样本空间为 \(S\). \(A\)为 \(E\)的时间.\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)为 \(S\)的一个划分,且 \(P(A)>0,P(B_1)>0\ (i=1,2,\cdots,n)\),则 \[ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j-1}^nP(A|B_j)P(B_j)} \] 上式称为 贝叶斯公式
小结
\[ 条件概率P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\longrightarrow 乘法定理P(AB)=P(B|A)P(A) \\ \downarrow \\ 全概率公式 \\ P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n) \\ \downarrow\\ 贝叶斯公式 \\ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j-1}^nP(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,\cdots,n \]
条件概率 \(P(A|B)\)与积事件概率 \(P(AB)\)的区别
\(P(AB)\)表示在样本空间 \(S\)中, \(AB\)发生的概率,而 \(P(B|A)\)表示缩小的样本空间 \(S_A\)中, \(B\)发生的概率.用古典概率公式,则 \[ P(B|A)=\frac{AB中基本事件数}{S_A中基本事件数} \\ P(AB)=\frac{AB中基本事件数}{S中基本事件数} \] 一般来说, \(P(B|A)\)比 \(P(AB)\)大.
