1.1 随机事件及其运算
概率论发展历程
古典概率时期
梅累骑士的赌徒问题1。梅累求教育帕斯卡，帕斯卡在1654年建立了概率论的第一个基本概念，数学期望
惠更斯、帕斯卡、费马创立了早期概率论，这一时期被称作 组合概率时期，计算各种古典概率
初等概率时期
伯努利提出概率是频率的稳定值 ### 分析概率时期
引入了随机变量。拉普拉斯明确了概率的古典定义，是严密的、系统的奠定概率论基础的第一人。
高斯发现正态分布，发现误差理论，提出最小二乘法，提出概率的古典定义
概率论是数学的一个分支，研究随机现象的数量规律-统计规律性
随机现象与随机试验
随机现象
确定性现象
- 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象
随机现象
- 在一定条件下可能也可能不出现的现象称为随机现象
说明
随机现象解释了条件和结果之间非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述
随机现象在一次观察中出现什么结果具有 偶然性，但在大量实验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性。概率悖论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科
随机试验
定义
在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验
- 可以再想用的条件下重复的进行
- 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果
- 进行以此试验之前不能确定哪一个结果
说明
- 随机试验简称为试验，是一个广泛的术语，它包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物进行的调查、观察或测量等
- 随机试验常用\(E\)来表示
样本空间与随机事件
样本空间
定义
随机试验\(E\)的所有可能结果组成的集合称为\(E\)的样本空间。记为\(S\)。样本空间的元素，样本空间的元素，即试验\(E\)的每一个结果，称为样本点
说明
- 试验不同，对应的样本空间也不同
- 同一试验，若试验目的不同，则对应的样本空间也不同
- 样本点可以是一维的，也可以是多维的
- 建立样本空间，实际上就是建立随机现象的数学模型。
一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题
描述随机现象的第一步就是建立样本空间
随机事件
基本概念
随机试验\(E\)的样本空间\(S\)的子集称为\(E\)的 随机事件，简称 事件
由一个样本点组成的单点集，称为 基本事件
由若干个基本事件组合成的事件，称为 复合事件
每次实验中，当且仅当这一子集的一个样本点出现时，称这一 事件发生
样本空间\(S\)包含所有的样本点，他是\(S\)自身的子集，每次实验中他总是发生的，\(S\)称为必然事件
空集\(\emptyset\)不包含任何点，它也作为样本空间的子集，它在每次实验中都不发生，\(\emptyset\)称为不可能事件
必然事件的对立面是不可能事件，不可能事件的对立面是必然事件，他们互称为 对立事件
随机事件可简称为事件，并以大写字母表示，除了已被使用过的字母外（\(S,E\)等）
随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应的有一个样本空间
样本空间的子集就是随机事件
事件的关系及运算
设试验\(E\)的样本空间为\(S\)，而\(A,B,A_{k}(k=1,\cdots)\)是\(S\)的子集
若\(A\subset B\),则称事件\(A\)包含于事件\(B\)，或称事件\(B\)包含事件\(A\)，这指的是
事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生
若\(A\subset B且B\subset A\) 则称事件\(A\)与事件\(B\)相等
事件\(A\bigcup B=\{x|x\in A或x\in B\}\),称为事件\(A\)与事件\(B\)的和事件
推广
称 \(\begin{equation*}\mathop{\bigcup}\limits_{k-1}^nA_k \end{equation*}\)为\(n\)个事件 \(A_1,A_2,\cdots A_k\)的和事件
称 \(\begin{equation*}\mathop{\bigcup}\limits_{k-1}^\infty A_k \end{equation*}\)为可列个事件 \(A_1,A_2,\cdots A_k\)的和事件
事件 \(A\bigcap B=\{x|x\in A 且x \in B\}\),称为事件A与事件B的积事件(或交事件)。\(A\bigcap B\)也记作 \(AB\)。当且仅当 \(A\),\(B\)同时发生时事件 \(A\bigcap B\)发生
推广
称 \(\begin{equation*}\mathop{\bigcap}\limits_{k-1}^nA_k \end{equation*}\)为\(n\)个事件 \(A_1,A_2,\cdots A_k\)的积事件
称称 \(\begin{equation*}\mathop{\bigcap}\limits_{k-1}^{\infty}A_k \end{equation*}\)为\(n\)个事件 \(A_1,A_2,\cdots A_k\)的积事件
和事件与积事件的运算性质
\[ A\bigcup A=A,A\bigcup S=S,A\bigcup \emptyset=A\\ A\bigcap A=A,A\bigcap S=A,A\bigcap \emptyset=\emptyset \]
事件 \(A-B=\{x|x\in A且x\notin B\}\)称为事件 \(A\)与事件 \(B\)的差事件,当且仅当 \(A\)发生,\(B\)不发生时,事件 \(A-B\)发生
若 \(A\bigcap B=\emptyset\),则称事件 \(A\)与 \(B\)不能同时发生,基本事件是两两互不相容的
若 \(A\bigcup B=S\)且 \(A\bigcap B=\emptyset\),则称事件\(A\)与事件 \(B\)互为逆事件.又称事件 \(A\)与事件 \(B\)互为逆事件.又称事件 \(A\)与事件 \(B\)互为队里事件. \(A\)的对立事件记为 \(\bar{A}\),\(\bar{A}=S-A\)
事件间的运算规律
- 交换律 \(A\bigcup B=B\bigcup A;A\bigcap B=B\bigcap A\)
- 结合律 \(A\bigcup(B\bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcup C;A\bigcap(B\bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcap C\)
- 分配律 \(A\bigcup(B\bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcup(A\bigcap C);A\bigcap(B\bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcap(A\bigcup C)\)
- 德\(\cdot\)摩根律 \(\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B};\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup\bar{B}\)
概率论与集合论之间的对应关系
| 记号 | 概率论 | 集合论 |
|---|---|---|
| \(S\) | 样本空间,必然事件 | 全间 |
| $$ | 不可能事件 | 空集 |
| \(e\) | 可能的结果 | 元素 |
| \(A\) | 随机事件 | 子集 |
| ${A} $ | \(A\)的对立事件 | \(A\)的补集 |
| $AB $ | \(A\)出现必然导致 \(B\)出现 | \(A\)是 \(B\)的补集 |
| \(A=B\) | 事件 \(A\)与事件 \(B\)相等 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)相等 |
| $AB $ | 事件 \(A\)与事件B的和事件 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)的并集 |
| \(AB\) | 事件 \(A\)与事件 \(B\)的积事件 | 集合 \(A\)与结婚 \(B\)的交集 |
| $A-B $ | 事件 \(A\)与事件 \(B\)的差事件 | 集合 \(A\)与集合 \(B\)的差集 |
| $AB=$ | 事件 \(A\)与 \(B\)互不相容 | \(A\)与 \(B\)两集合中没有相同的元素 |
传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅累参加赌博，和赌友掷骰子，各押赌注32个金币．双方约定，梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷出三次4点，就算赢了对方．赌博进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点．这时候梅累接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌博只好中断了．这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以梅累分64个金币2/3的，自己分64个金币的1/3．梅累急辩说，不对，即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币，所以他应该分64的个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/4．两人到底谁说得对呢？梅累为这问题苦恼好久，最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教，请求他帮助作出公正的裁判，这就成为有趣的“分赌注”问题．帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家．可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了近三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，并取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64个金币的.用期望解释比较好。↩︎
